Zadania z matematyki - objaśnienie

Poochini

Będę zamieszczał tutaj różne zadania z ciągów, objaśnione w łatwy i przyjemny sposób i co najważniejsze w 100% poprawnie. Jezyk

Sądzę, że się przydadzą. Wesoly

W ramach podziękowania - plusik.

Pozdrawiam,
Życzę dalszych sukcesów w matematyce! Wesoly

Poochini

Zadanie: Oblicz a1, r, an, Sn wiedząc, że ciąg jest arytmetyczny.
Dane: a5 = 19, s3 = 21

Obliczenia:

{a5 = 19
{s3 = 21

{19 = a1 + 4r // * (-3)
{21 = 3a1 + 3r

{-57 = -3a1 -12r
{21 = 3a1 + 3r

-36 = -9r // * (-1)
9r = 36 // : 9
r = 4

19 = a1 + 4r
19 = a1 + 16
a1 = 19 - 16
a1 = 3

Sprawdzamy czy obliczyliśmy poprawnie a1 i r poprzez podstawienie do wzoru sumy S3. Pierw jednak musimy obliczyć 3 wyraz ciągu, ponieważ trzeba go znać, aby obliczyć sumę.
a3 = a1 + 2r
a3 = 3 + 8
a3 = 11

Już końcówka. Podstawiamy do wzoru sumy 3 wyrazów ciągu.
S3 = 3 + 11 / 2 * 3
S3 = 7 * 3
S3 = 21

Suma 3 wyrazów ciągu jest równa 21, czyli tyle co początku zadania, to świadczy o tym, że poprawnie rozwiązaliśmy zadanie.

Na koniec podaje jeszcze wzór rekurencyjny.
a1 = 3, an+1 = an + 4n

Zadanie skończone.

Poochini

Zadanie: Oblicz a50 wiedząc, że ciąg jest arytmetyczny.
Dane: a5 = 8, a12 = -6

Obliczenia:

Tworzymy układ równań. Należy pamiętać o tym, że zawsze w pierwszej kolejności liczymy odległość r.
{a5 = 8
{a12 = -6

{8 = a1 + 4r // * (-1)
{-6 = a1 + 11r

7r = -14 // : 7
r = -2

Gdy znamy już odległość (r) możemy formalnie wyznaczyć a1.
a2 = a5 - 3r
a2 = 8 + 6
a2 = 14

a1 = a2 - r = 14 + 2 = 16
a1 = 16

Znając już a1 i r możemy wyliczyć 50 wyraz tego ciągu.
a50 = a1 + 49r
a50 = 16 + 49(-2)
a50 = 16 - 98
a50 = -82

Zadanie skończone.

Poochini

Zadanie: Oblicz sumę wyrazów ciągu arytmetycznego zaczynając od wyrazu a11, a kończąc na a30.
Dane: a1 = 5, a2 = 1, a3 = -3

Obliczenia:

r = a2 - a1
r = 1 - 5
r = -4

Należy obliczyć a10 i jego sumę po to, aby później ją odjąć od a30.
a10 = a1 + 9r
a10 = 5 + 9(-4)
a10 = -31

s10 = 5 - 31 / 2 * 10
s10 = -13 * 10
s10 = -130

Teraz zabieramy się do liczenia 30 wyrazu ciągu i jego sumy.
a30 = a1 + 29r
a30 = 5 + 29(-4)
a30 = 5 - 116
a30 = -111

s30 = 5 - 111 / 2 * 30
s30 = -53 * 30
s30 = -1590

Mamy już wszystko co jest potrzebne. Teraz należy odjąć sumę 30 wyrazów od sumy 10 wyrazów ciągu i uzyskamy wynik zadania.
s30 - s10 = 1590 - (-130) = -1460
Szukana suma = -1460

Zadanie skończone.

Poochini

Zadanie: Podany ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Oblicz jego różnicę i zapisz kolejne dwa wyrazy ciągu.
Dane: a1 = 125,5 a2 = 120 a3 = 114,5

Obliczenia:
r = a2 - a1
r = 120 - 125,5
r = -5,5

Znając odległość (r) możemy obliczyć kolejne wyrazu ciągu.
a4 = a3 + r
a4 = 114,5 - 5,5
a4 = 109

a5 = a5 + r
a5 = 109 - 5,5
a5 = 103,5

Zadanie skończone.

Poochini

Zadanie: Ustal różnicę i podaj dwa pierwsze wyrazy ciągu arytmetycznego.
Dane: a1, a2, m+7, m-7, m-21

Obliczenia:
r = a4 - a3
r = m-7 - m-7
r = -14

a2 = a3 - r
a2 = m+7 + 14
a2 = m+21

a1 = a2 - r
a1 = m+21 + 14
a1 = m+35

Zadanie skończone.